☼ Polinomios ☼

Monday, July 18, 2005

♀ Aprendiendo Polinomios ♀

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1. Define Polinomio en R. Clases. Ejemplos:



Polinomio en R:

En álgebra, un polinomio es una función de la forma:

f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0



donde x es una variable que pertenece a los numeros reales , (n, z), es decir es un entero no negativo.

Son Polinomios:

  • Los números reales an, an-1, a2, a1, a0 se denominan coeficientes del polinomio y , en especial, al coeficiente a0, también se lo llama término independiente.


Referencias bibliográficas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/polinomio.html

http://www.ejercitando.com.ar/teormate/polinomio2.htm


2. Aplicaciones



Generalmente se utilizan las funciones reales, en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Función Afín:

Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.

Referencias Bibliográficas:COCODRILO.gif (37331 bytes)


3. Investiga sobre: (Sustenta con ejemplos)

3.1. Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto

a) En un monomio:


a.1) Grado Relativo:

Veamos unos ejemplos para comprenderlo mejor:

4a3b2

En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.
GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

x5y3z

En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x5y3y1
GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)

a.2) Grado Absoluto: Trabajaremos en los mismos ejemplos del caso anterior para comprender mejor:

4a3b2

El Grado Absoluto de un monomio, no es otra cosa que la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. En este caso sumaremos el exponente de la letra a con el exponente de la letra b:
GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)

x5y3z

Recordamos que el exponente de la letra y es 1: x5y3y1
GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)


Referencias Bibliográficas:
3.2. Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas.

b) En un polinomio:


b.1) Grado Relativo: Es igual al exponente mayor de cada una de als variables que se repiten en un polinomio, por ejemplo:7x3z8+ 3z4x ---> GR (x) = 3GR (z) = 8

Veamos un ejemplo para ver mejor como se halla el Grado Relativo:

4a3b2 +5a5b

En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.

4a3b2 +5a5b1

Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"

4a3b2 +5a5b1

Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)
GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)

4a3b2 +5a5b1

Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2).
GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Nótese que los grados relativos no son necesariamente del mismo término, en el caso que hemos visto uno de los grados relativos salió del primer termino y otro del segundo.

b.2) Grado Absoluto: Lo determina el término que tiene el mayor grado dentro de un polinomio, por ejemplo:3x2y3x4+ 9y8xz +5z2x5y ---> GA = 10

Sigamos con el mismo ejemplo:

4a3b2 +5a5b

Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.

4a3b2 +5a5b1

Completo los exponentes que "no se ven" con 1.

4a3b2 +5a5b1

Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.

4a3b2 +5a5b1

Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.

4a3b2 +5a5b1

Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)






Referencias Bibliográficas: samur.gif (26998 bytes)

3.3. Polinomios especiales

Polinomios especiales:

Polinomios Completos

Un polinomio es completo cuando todos sus términos siguen una secuencia de mayor a menor con respecto a su exponente.

Ejemplo:

6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5

Este es completo, comprobémoslo:

  1. Observar los exponentes.

6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5

  1. Completamos los exponentes.

6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0

El término x no tenía exponente, le hemos colocado el 1 que correspondía.

  1. Cuando encontremos un número solo (como el número 5), a este se le llama término independiente y se asume que lleva la misma letra que los demás términos elevado a exponente 0.

Polinomios Ordenados

Es ordenado cuando todas las variables son respectivamente ordenadas en secuencia, para que la solución sea más fácil y practica.

Ejemplo:

5a2 +3a3 -a5 +a8

Este es ordenado, comprobémoslo:

a) Evidentemente no es un polinomio completo, pero veamos como van sus exponentes.

b) Empieza con exponente 2, luego sube a exponente 3, sube a exponente 5 y finalmente sube a exponente 8.

c) Es decir, los exponentes van subiendo; si esto sucede nosotros decimos que se trata de un polinomio ordenado ascendente.

d) Lógicamente también puede haber un polinomio ordenado en forma descendente:

5x6 +3x5 -2x2 +x

Polinomios Homogéneos

Recordemos que un polinomio esta formado por dos o más términos que se están sumando o restando. Así podemos decir que el siguiente: 3a2b + 5ab2 -3abc, es un polinomio de tres términos: el primero de ellos es 3a2b, el segundo es +5ab2 y el tercero es -3abc.

Ahora voy a sumar los exponentes de cada término:


Primer término: 3a2b1, sumados los exponentes 2 +1 = 3
Segundo término: +5a1b2, sumados los exponentes 1 +2 = 3
Tercer término: -9a1b1c1, sumados los exponentes 1 +1 +1 = 3

Entonces podemos decir un polinomio homogéneo es cuando la suma de los exponentes de los términos dan un mismo resultado.

Referencias bibliográficas:

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#pcomplet

3.4. Operaciones con polinomios:

Operaciones con polinomios:

Adición de polinomios:

1) Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado).

2) Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática.

Para sumar P(x) = 3x4 –5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así:

P r o c e d i m i e n t o

1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden

3. Se reducen los términos semejantes

a. Se suman los términos positivos

b. Se suman los términos negativos

c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b

d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b

4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos

EJEMPLOS:

MathType 5.0 Equation

Sustracción de polinomios:

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

PROCEDIMIENTO

  1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo

  1. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.

  1. Se reduce la expresión resultante

EJEMPLOS:

MathType 5.0 Equation

Multiplicación de polinomios

PROCEDIMIENTO

1. Se ordenan los polinomios

2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de estas dos filas

3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)

4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer termino del multiplicador y todos los del multiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del multiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos los del multiplicando;...

5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna

6. Se reducen los términos semejantes

Ley de los signos

+ por + da +

+ por - da -

- por + da -

- por - da +

Propiedad en el producto de potencias

Para hallar el producto de dos o más potencias con la misma base, basta con escribir la base común y sumar los exponentes respectivos.

EJEMPLOS:

MathType 5.0 Equation

Referencias bibliográficas:

Suma de polinomios:

Multiplicación:

Sustracción:

Productos notables: casos, Identidades de Legendre

Cubo de un binomio

  1. (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  2. (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Cuadrado de un trinomio

  1. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
  2. (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc

Suma y resta de cubos

  1. (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

  2. (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3





Referencias bibliográficas:

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm


3.5. Ejercicios y problemas aplicativos

1. Considere los siguientes polinomios :

; ; ;

; ;

Determine el polinomio que representan :

a) p(x) + q(x).

b) p(x) - h(x).

c) r(x)× h(x).

Solución

a)

,

entonces,

.
b)

,

entonces,

.

c)


,

Hallar los grados relativos y el grado absoluto de los siguientes monomios:


a) 3ab2c3d4

Solución:
3a
1
b2c3d4
GR(a) = 1
GR(b) = 2
GR(c) = 3
GR(d) = 4
GA = 10

b) 2mn3

Solución:
2m
1
n3
GR(m) = 1
GR(n) = 3


GA = 4

c) xyz

Solución:
x
1y1z1

GR(x) = 1
GR(y) = 1
GR(z) = 1

GA = 3

Hallar los grados relativos y el grado absoluto de los siguientes polinomios:

a) 4x2y -5xy3 +3xyz

Solución:
4x2y
1 -5x1y3 +3x1y1z1

GR(x) = 2
GR(y) = 3
GR(z) = 1
GA = 4

b) b3 -2a2b2 +3a3c

Solución:
b3 -2a2b2 +3a3c
1

GR(a) = 3
GR(b) = 3
GR(c) = 1
GA = 4

Determinar que características tienen los siguientes polinomios:

a) 3x2 +5x4 -3x +2 -x3

P. Completo

b) 2a4 -3a2 +a

P. Ordenado

c) 3a4 +a2b2 - 5xy3

P. Homogéneo

d) 5 +3x +2x3 -x5

P. Ordenado

e) 3a4 -a3b +2a2b2 +5ab3 -b4

P. Completo, Ordenado y Homogéneo

f) 3x5 +x4 -2x3 +3x2 -x +1

P. Completo y Ordenado

Referencias Bibliográficas:

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